Sudut Ganda


 

27.1 Rumus Sudut Ganda

Sebuah arus lisrik i dapat dinyatakan sebagai i = 5 sin(ωt – 0.33) ampere. Sama halnya dengan berat x dari sebuah bentuk pada posisi sebuah titik dapat dinyatakan sebagai x = 10 sin(2t+0.67)   meter. Sudut (ωt – 0.33) dan (2t+0.67) disebut sebagai sudut ganda, karena keduanya adalah penjumlahan atau perbedaan antara dua sudut.

Rumus sudut ganda untuk sin dan cos dari penjumlahan dan perbedaan antara dua sudut A dan B yaitu :

Sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Sin (A–B) = sin A cos B – cos A sin B

Cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B

Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

( Catatan, sin(A+B) tidak sama dengan (sin A + sin B) dan begitu yang lainnya)

Rumus diatas boleh dinyatakan dengan menggunakan untuk memperoleh rumus dua sudut ganda.

Tan (A+B)

Tan (A-B)

Rumus sudut ganda benar untuk semua nilai dari A dan B, dan disubstitusi oleh nilai dari A dan B kedalam rumus yang ditunjukkan untuk kebenarannya.

Masalah 1. Perluaslah dan sederhanakan pernyataan berikut:

(a) sin (π + α)

(b) –cos (90⁰ + β)

(c) sin (A – B) – Sin (A + B)

(a) sin (π + α) = sin π cos α + cos π sin α (dari rumus sin (A + B)

= (0) cos α + (-1 ) sin α

= -sin α

(b)      –   cos (90⁰ + β)           = – (cos 90⁰ cos β – sin 90⁰ sin β)

= – ( 0 cos β – (1) sin β) = sin β

(c) sin (A – B) – Sin (A + B) = ( sin A cos B – cos A sin B) – (sin A cos B + cos A sin B)

= – 2 cos A sin B

Masalah 2. Buktikan bahwa :

Cos (y – π) + sin (y + ) = 0

Cos (y – π) = cos y cos π+ sin y sin π

= cos y(-1) + sin y (0)

= – cosy

Sin (y + )  = sin y cos + cos y sin

= sin y (0) + cos y (1) = cos y

Maka Cos (y – π) + sin (y + ) = (-cos y) + cos y = 0

Masalah 3. Buktikan bahwa

Tan (x +  ) tan (x –  ) = -1

tan  =

(dari rumus tan (A + B))

                     =  =

Misal tan  = 1

tan  =  =

jadi, tan  tan

=

=  =  = – 1

Masalah 4. Jika nilai sin P = 0.8142 dan cos Q = 0.4432 berapakah nilai (a) sin (P Q), (b) cos (P + Q) dan (c) tan (P + Q) dengan 4 angka desimal dan dengan menggunakan rumus gabungan sudut

Karena sin P = 0.8142 maka P = sin -1 0.8142 = 54.51o sehingga cos P = cos 54.51o = 0.5806 dan tan P = tan 54.51o = 1.4025

Karena cos Q = 0.4432, Q = cos-1 0.4432 = 63.69o sehingga sin Q = sin 63.69o = 0.8964 dan tan Q = tan 63.69o = 2.0225

(a)    Sin ( P Q )

= sin P cos Q – cos P sin Q

= (0.8142)(0.4432) – (0.5806)(0.8964)

= 0.3609 – 0.5204 = – 0.160  

(b)   Cos ( P Q )

= cos P cos Q – sin P sin Q

= (0.5806)(0.4432) – (0.8142)(0.8964)

= 0.2573 – 0.7298 = – 0.473

(c)    Tan ( P + Q )

=     =

=  = ­-1.865

Masalah 5. Selesaikan persamaan : 4 sin ( x – 250o ) = 5 cos x untuk nilai  x antara 0o dan 90o

4 sin (x – 20o)  = 4 [sin x cos 20o – cos x sin 20o ]

Dari rumus sin ( A – B )

                        = 4 [sin x(0.9397) – cos x(0.3420) ]

= 3.7588 sin x – 1.3680 cos x

Karena 4 sin ( x – 250o ) = 5 cos x sehingga 3.7588 sin x – 1.3680 cos x = 5 cos x

Hasil dari subtitusi :

3.7588 sin x     =  5 cos x + 1.3680 cos x

= 6.3680 cos x

Dan                      =  = 1.6942

Jadi tan x = 1.6942, dan x = tan-1 1.6942 = 59.449o atau 59o27’

[ Periksa : LHS = 4 sin(59.449o – 20o)

= 4 sin 39.449o = 2.542

                             RHS = 5 cos x= 5 cos 59.449o = 2.542 ]

Sekarang kerjakan latihan soal berikut ini

Latihan 107     selanjutnya selesaikan soal-soal ini dengan menggunakan rumus sudut campuran

  1. Sederhanakanlah persamaan ini menjadi satu sudut sin saja :

(a)    sin 37o cos 21o + cos 37o sin 21o

(b)   sin 7t cos 3t – cos 7t sin 3t

[ (a) sin 58o      (b) sin 4t ]

  1. Sederhanakanlah persamaan ini menjadi satu sudut cos saja :

(a)    cos 71o cos 33o – sin 71o sin 33o

(b)   cos  cos  + sin  sin

[ (a) cos 104o – cos 76o           (b) cos  ]

  1. Tunjukkan bahwa :

(a)    sin  + sin  =  cos x

(b)   – sin  = cos

  1. Buktikan bahwa :

(a)    sin  – sin  =  (sin  + cos )

(b)    = tan

  1. Diketahui cos A = 0,42 dan sin B = 0,73 tentukan nilai (a) sin (A – B), (b) cos (A – B), (c) tan (A + B),

[(a) 0.3136       (b) 0.9495        (c) –2.4687]

Di soal 6 dan 7, selesaikan persamaan ini untuk nilai  antara 0o dan 360o

  1. 3 sin ( + 30o) = 7 cos                 [64.72o atau 244.72o]
  2. 4 sin ( – 400) = 2 sin                  [67.52o atau 247.52o]

27.2 Perubahan a sin t + b cos t menjadi R sin (t + )

(i)     R sin (t + ) menunjukkan gelombang a sin bernilai maksimal R, periode waktunya 2/, frekuensinya /2 dan

(ii)   Rumus R sin (t + ) bisa dijabarkan dengan menggunakan rumus gabungan sudut sin (A + B), dimana A = t dan B = . Sehingga

R sin (t + )

            = R [sin t cos  + cos t sin ]

= R sin t cos  + R cos t sin

= (R cos ) sin t + (R sin ) cos R sin t

(iii) Jika a = R cos  dan b = R sin , dimana a dan b merupakan konstanta, maka R sin (t + ) = a sin t + b sin t,

(iv) Karena a = R cos , sehingga cos  =  dan karena b = R sin , sehingga sin  =

Jika nilai a dan b  diketahui maka nilai R dan  bisa dihitung. Hubungan antara konstanta a, b, R dan  digambarkan pada gambar 27.1.

                                                                    b

a

Gambar 27.1

Dari gambar 27.1, dengan teorema Pythagoras :

R =

Dan dari hubungan trigonometri :

 =  

Masalah 6. Temukan untuk 3 sin t + 4 cos t dalam bentuk R sin (t + ) dan buatlah sketsa grafik dari 3 sin t, 4 cos t dan R sin (t + ) pada yang sama.

Tulis 3 sin t + 4 cos t = R sin (t + )

Lalu 3 sin t + 4 cos t = R [sin t cos  + cos t sin ]

= (R cos ) sin t + (R sin ) cos R sin t

Samakan koefisien sin t, menjadi :

3 = R cos , dari, cos  =

Samakan koefisien cos t, menjadi :

4 = R sin  dari, sin  =

Contoh 27.7

Dari contoh 27.7, R= 3.52 + (-5.8)2 = 6.774 dan

Ө = tan-1 3.5  = 31.12

5.8

Karena α = 180 -31.12 = 148.88

Dengan demikian 3.5 cos A – 5.8 sin A

= 6.774 sin ( A + 148.88) = 6.5

Karena sin (A + 148.88) =  6.5

6.774

Yang mana (A + 148.88) = sin-1  6.5

6.774

= 73.65 atau 106.35

Dengan demikian A = 73.65 – 148.88 = -75.23

= (-75.23 + 360 ) = 284.77

Atau A = 106.35 – 148.88 = -42.53

= (-42.53 + 360) = 317.47

Dengan demikian maka kesimpulannya adalah A = 284.77 atau 317.47. Atau buktikan dalam persamaan asli.

Sekarang coba kerjakan latihan berikut!

Latihan 108

Selanjutnya jadikan konvensi a sin ώt + b cos ώt  kedalam R sin ώt

Pada masalah 1 sampai 4 ubahlah fungsi kedalam R sin (ώt ± α )

  1. 5 sin ώt + 8 coa ώt          [9.434 sin (ώt + 1.012)]
  2. 4 sin ώt – 3 cos ώt          [5 sin (ώt – 0.644)]
  3. -7 sin ώt + 4 cos ώt         [8.062 sin (ώt + 2.622)]
  4. -3 sin ώt – 6 cos ώt         [6.708 sin (ώt-2.034)}
  5. Selesaikan persamaan berikut dan tentukan nilai dari Ө antara 0 sampai 360:

(a)    2 sin Ө + 4 cos Ө = 3

(b)   12 sin Ө – 9 cos Ө = 7

[(a) 74.44 atau 338.70]

[(b)64.69 atau 189.05]

  1. Selesaikan persamaan dari 0<A<360

(a)    3 cos A +  2 sin A = 2.8

(b)   12 cos A – 4 sin A = 11

[(a)72.73 atau 354.63]

[(b)11.15 atau 311.98]

  1. Selesaiakn persamaan berikut untuk nilai dari Ө antara 0 dan 360:

(a)    3 sin Ө + 4 cos Ө = 3

(b)   2 cos Ө + sin Ө = 2

[(a)90 atau 343.74]

[(b)0 , 53.14]

  1. Selesaiakan persamaan berikut untuk nilai Ө antara 0 dan 360:

(a)    6 coa Ө + sin Ө = v3

(b)   2 sin 3Ө + 8 cos 3 Ө = 1

[(a)82.9 ,296]

[(b) 32.4,97,152.4,217,272.4,337]

  1. Harmonik ketiga dari satu gerak gelomang yang diberikan oleh 4.3 cos 3 Ө – 6.9 sin 3 Ө. Bawalah kedalam bentuk R sin (3 Ө ± α)                      [8.13 sin(3Ө + 2.584)
  2. Pergeseran x meter dari sekumpulan titik yang diberikan oleh x = 2.4 sin ώt + 3.2 cos ώt, dimana waktu dalam detik. Bawalah x kedalam bentuk R sin (ώt + α )             [x = 4.0 sin (ώt + 0.927) m ]
  3.  Dua tegangan listrik, v1= 5coa ώt  dan v2=-8sin ώt dimasukkan kedalam rangkaian yang sama. Tetapkan tegangan keluarnya kedalam bentuk (v1+v2)

[ 9.434 sin (ώt + 2.583)]

27.3 SUDUT RANGKAP

 

(i)                  Jika kita menggabungkan rumus sudut dari sin (A + B), Maka kita dapat menulis A = B, kemudian

Sin 2A = 2 sinA cosA

Contoh:

A = 2sin 2Acos2A dan sin 8A = 2 sin4A cos4A dan seterusnya

(ii)                Jika kita menggabungkan rumus sudut dari sin (A + B), Maka kita dapat menulis A = B, kemudian

Cos 2A = cos2A – sin2A

Jika cos2A – sin2A = 1 maka

Cos2A = 1-sin2A dan sin2A = 1-cos2A, dan dua rumus lebih lanjut untuk cos2A dapat dihasilkan. Dengan demikian:

Cos2A = cos2A – sin2A

= (1-sin2A) – sin2A

Atau      cos2A = 1-2sin2A

Dan        cos2A =cos2A – sin2A

= cos2A – (1-cos2A)

Atau      cos2A = 2cos2A – 1

Contoh:

Cos4A = cos2A – sin2A atau 1-2sin2A atau 2 cos2A -1 dan cos6A = cos23A – sin23A atau 1-2sin23A atau 2cos23A – 1 dan seterusnya

(iii)               Jika kita menggabungkan rumus sudut dari sin (A + B), Maka kita dapat menulis A = B, kemudian

Tan 2A = 2 tanA

1- tan2A

Contoh:

tan 4A = 2tan 2 A

1-tan2A

Dan tan5A = 2tan 5/2A

1- tan2 5/2A

Dan seterusnya

Masalah 11 I3 sin 3Ө adalah harmonik ketiga dari bentuk gelombang . Bawalah harmonic ketiga jika syarat harmonic pertama sin Ө, jika I3 = 1

Jika I3 = 1

I3 sin 3 Ө = sin 3 Ө = sin (2 Ө + Ө )

= sin 2 Ө cos Ө + cos 2 Ө sin Ө

Dari rumus sin ( A + B)

= (2 sin Ө cos Ө ) cos Ө + (1-2 sin2 Ө) sin Ө

Dari perluasan sudut rangkap

= 2 sin Ө cos2 Ө + sin Ө – 2 sin3 Ө

= 2 sin Ө (1- sin2 Ө) + sin Ө – 2 sin3 Ө

(jika cos2 Ө = 1-sin2 Ө)

= 2 sin Ө – 2 sin3 Ө + sin Ө – 2 sin3 Ө

Maka sin3 Ө = 3sin Ө – 4 sin3 Ө

Masalah 12 Buktikan jika: 1- cos 2 Ө  = tan Ө

Sin2 Ө

LHS = 1- cos 2 Ө  = 2

Sin2 Ө

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s