Distribusi Gamma Dan Eksponensial


Distribusi Gamma dan Eksponensial

A.      DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL

Distribusi normal adalah suatu distribusi yang bisa digunakan untuk menyelesaikan banyak permasalahan dalam bidang rekayasa dan sains. Dan banyak lagi permasalahan yang menggunakan fungsi padat jenis lain. Dua fungsi padat itu adalah distribusi gamma dan eksponensial.

Diketahui bahwa eksponensial adalahhal penting dari distribusi gamma. Dikarenakan mempunyai terapan yang luas. Distribusi eksponensial dan gamma mempunyai peranan penting dalam teori antrian dan keandalan (reliabilitas).Contohnyayaitu :Jarakantarawaktutiba di fasilitaspelayanan (misalnya : bank, lokettiketkeretaapi,dll) danlamanyawaktusampairusaknyasukucadangalatlistrik, seringmenyangkutdistribusieksponensial. Hubungan antara distribusigamma dan distribusieksponensial memungkinkan penggunaan distribusi gamma dalam jenis persoalan yang sama.

Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan juga dipelajari dalam banyak bidang matematika. Sebelum membahas distribusi gamma pertamaakan dijelaskan fungsi gamma dan beberapa sifatnya diantaranya yaitu :

Definisi 1

          Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

Γ(α) =

                 untuk α > 0

Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah:

  1. Di definisikan
  2. Untuk setiap α > 1 berlaku
  3. Untuk sebuah bilangan bulat positif n,

1. Bukti:

Misal

Karena , maka

terbukti bahwa

2. Dengan manipulasi kalkulus pada teknik pengintegralan, maka diperoleh:

Dimana,

Sehingga

Denganmenggunakanrumusberulang di atas, maka:

Sehingga diperoleh:

Dst

                 Jika  dimana n bilangan bulat positif, maka dapat dituliskan:

Sekarang fungsi gamma akan dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma.

Distribusi gamma  Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma dengan parameter , bila fungsi padatnya berbentuk

f(x)=

Dengan α > 0 dan β > 0

Untuk beberapa nilai tertentu, distribusi gamma yang khusus dengan  α=1disebut distribusi eksponensial.

DistribusieksponensialPeubahacakkontinu X berdistribusieksponensial,  dengan parameter β, bilafungsipadatnyaberbentuk

f(x)=                        

Dengan β > 0

Teorema dibawah ini  dan akibatnyamemberikanrataandanvariansidistribusi gamma daneksponensial

Teorema 1 Rataan dan variansi distribusi gamma adalah

μ  = αβ dan = αβ2

Bukti:

Misalkan

dan  sehingga,

Ambil r = 1 dan r = 2, makapersamaan di atasmenjadi

Sehingga adalah:

Dari  dan

          Akibat 1Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah

μ = α dan = β2

 

B.      PENERAPAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN GAMMA

Pada bab ini akan disajikandasarbagipenerapandistribusieksponensialdalam “waktusamapaitiba” ataupersoalanwaktusampaikejadianPoisson. Disiniakandiberikanilustrasikemudianditeruskandenganpembahasanperandistribusi gamma dalampenerapanini. Perhatikanbahwarataandistribusieksponensialadalah parameter β, kebalikandari parameter distribusiPoisson.DistribusiPoissontidakpunyaingatan . Maksudnyayaitubahwaterjadinyadalamselangwaktu yang berurutantidaksalingmempengaruhi. Parameter β yang penting adalah rataan waktu antara kejadian. Teorikeandalan (reliabilitas) yang menyangkutkegagalanperalatanseringmemenuhi proses Poissonini, di sini β disebutrataanwaktuantarakegagalan. Banyakkerusakanperalatanmemenuhi proses Poisson, dankarenaitudistribusieksponensialdapatditerapkan di situ.

Dalamcontoh berikut diberikan suatu penerapan sederhana distribusi  eksponenesial pada soal dalam keandalan. Distribusi binomial juga ikutserta dalam penyelesaiannya.

          Contoh 1

                 Misalkan variable acak kontinu X yang menyatakanketahanansuatubantalanpeluru (dalamribuan jam) yang diberipembebanandinamikpadasuatuputarankerjatertentumengikutisuatudistribusi gamma dengan α = 8 danβ = 15. Maka, probabilitassebuahbantalanpelurudapatdigunakanselama 60 ribusampai 120 ribu jam denganpembebanandinamikpadaputarankerjatersebutadalah:

          Contoh 2

Misalkan suatu system mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh peubah acak T yang berdistribusieksponensialdengan parameter wakturataansampaigagal β = 5. Bilasebanyak 5 komponentersebutdipasangdalam system yang berlainan, berapakahpeluangbahwa paling sedikit 2 masihakanberfungsipadaakhirtahunkedelapan?

          Jawab

Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah

 dt

                 Misalkan  X menyatakan bahwa suatu komponen yang masih berfungsi setelah 8 tahun. Dengan menggunakan distribusi binomial, diperoleh

Pentingnya distribusi gamma terletak pada kenyataan bahwa distribusiinimerupakansuatukeluargadistribusi yang distribusilainnyamerupakanhalkhusus. Tetapi gamma sendirimempunyaiterapanpentingdalamwaktumenunggudanteorikeandalan. JikadistribusieksponensialmemberikanwaktusampaiterjadinyakejadianPoisson (atauwaktuantarakejadianpoissson) makawaktu (atauruang) terjadinyasampaisejumlahtertentukejadianPoissonterjadimerupakanpeubahacak yang fungsipadatnyadiberikanolehdistribusigamma.Jumlahtertentukejadianiniadalah parameter α dalamfungsipadat gamma. Karenaitumudahdipahamibahwabila α =1 halkhususdistribusieksponensialberlaku. Fungsipadat gamma dapatdiperolehdarihubungannyadengan proses Poissonmiripdengancaramemperolehfungsipadateksponensial. Rinciannyadiserahkansebagailatihan. Berikutadalahcontoh numeric penggunaandistribusi gamma dalampenerapanwaktumenunggu.

          Contoh 3

Misalkanlah bahwa hubungan telepon tiba disuatu gerdu (sentral memenuhi proses Poissondengan rata-rata 5 hubunganmasuk per menit. Berapakahpeluangnyabahwasetelahsemenitberlalubaru 2 hubunganmasukkegardutadi?

          Jawab:

Proses Poisson berlaku dengan waktu sampai 2 kejadian Poissonmemenuhidistribusi gamma dengan dan . Misalkan peubah acak X menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubunganmasuk. Peluang yang dicariadalah

 dx

Harinaldi, Prinsip – PrinsipStatistikuntukTeknikdanSains, Erlangga, Jakarta (2005)

 

Klik Dibawahini untuk Download

Download

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s